자기장 속 전류 도선의 힘과 코일의 토크 방향을 오른손 외적으로 구분한 도해
자기장 속 전류 도선의 힘과 코일의 토크 방향을 오른손 외적으로 구분한 도해

자기장 안의 도선이 받는 힘도 외적으로 계산하고, 회전축에 생기는 토크도 외적으로 계산한다. 두 결과가 모두 입력 벡터에 수직이라는 이유만으로 같은 물리량은 아니다. 힘은 물체를 병진시키는 벡터이고, 토크 벡터는 회전축과 회전 방향을 표현한다.

외적은 두 벡터의 수직 성분과 방향을 만든다

두 벡터 a, b의 외적 크기는 다음과 같다.

∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin⁡θ|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta

두 벡터가 평행하면 0, 수직이면 최대다. 방향은 a에서 b로 손가락을 감았을 때 오른손 엄지가 가리키는 쪽이며, 두 벡터가 만드는 평면에 수직이다.

성분으로는 다음처럼 계산한다.

a×b=[aybz−azbyazbx−axbzaxby−aybx]\mathbf{a}\times\mathbf{b}= \begin{bmatrix} a_yb_z-a_zb_y\\ a_zb_x-a_xb_z\\ a_xb_y-a_yb_x \end{bmatrix}

순서를 바꾸면 방향이 반대가 된다.

a×b=−(b×a)\mathbf{a}\times\mathbf{b}=-(\mathbf{b}\times\mathbf{a})

그래서 오른손 규칙을 외웠더라도 식에서 벡터 순서를 바꾸면 부호가 바뀐다.

자기장 속 전하는 속도와 자기장에 수직인 힘을 받는다

전하 q가 전기장 E와 자기장 B 안에서 받는 Lorentz force는 다음과 같다.

F=q(E+v×B)\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})

자기력 부분 q(v×B)는 속도와 자기장 모두에 수직이다. 양전하의 방향은 오른손 외적과 같고, 음전하는 반대다.

자기력은 순간 속도에 수직이므로 이상적인 점전하에 일을 하지 않고 운동 방향을 바꾼다.

P=F⋅v=0P=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}=0

모터에서 전기 에너지가 기계 에너지로 바뀌는 전체 과정은 전원, 도선의 전기장, back EMF와 회로 상호작용을 포함한다. “자기력이 점전하에 일을 하지 않는다”는 문장과 모터가 출력을 낸다는 사실은 모순이 아니다.

전류가 흐르는 직선 도선에는 실제 힘이 생긴다

균일한 자기장 안에 유효 길이 벡터 L인 직선 도선이 있고 전류 I가 흐르면 힘은 다음과 같다.

F=IL×B\mathbf{F}=I\mathbf{L}\times\mathbf{B}

L 방향은 conventional current 방향이다. 길이 0.2 m, 전류 5 A, 자속밀도 0.3 T이고 서로 수직이라면 힘의 크기는

F=5×0.2×0.3=0.30 NF=5\times0.2\times0.3=0.30\,\mathrm{N}

이다. 도선을 자기장과 나란하게 돌리면 sinθ=0이 되어 이 힘은 0이 된다.

식은 유효 도선 구간에서 자기장이 균일하다고 가정한다. 자기장이 위치에 따라 달라지면 미소 구간의 힘 dF=I dL×B를 적분한다.

토크는 위치벡터와 힘의 외적이다

회전축에서 힘 작용점까지의 위치벡터를 r이라 하면 토크는 다음과 같다.

τ=r×F\boldsymbol{\tau}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}

크기는 rF sinθ이고 단위는 N·m다. 축에서 수직 거리 0.05 m인 지점에 접선 방향으로 0.30 N의 힘이 작용하면

τ=0.05×0.30=0.015 N⋅m\tau=0.05\times0.30=0.015\,\mathrm{N\cdot m}

다. 토크 벡터가 축 방향을 가리킨다는 것은 축 방향으로 힘이 작용한다는 뜻이 아니다. 엄지 방향은 양의 회전축을 나타내는 표기다.

힘과 변위는 좌표 반사에서 방향이 함께 바뀌는 polar vector다. 토크와 각운동량은 두 polar vector의 외적으로 만들어져 회전축을 나타내는 axial vector 또는 pseudovector다. 이 구분이 거울 좌표계와 3차원 변환에서 중요하다.

전류 루프는 힘의 쌍으로 토크를 만든다

면적 A, 감은 수 N, 전류 I인 평면 코일의 magnetic dipole moment는 다음과 같다.

μ=NIAn\boldsymbol{\mu}=NIA\mathbf{n}

n은 오른손으로 전류 방향을 감았을 때 엄지가 가리키는 면의 법선이다. 균일한 자기장에서 코일 토크는

τ=μ×B\boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{\mu}\times\mathbf{B}

이고 크기는

τ=NIABsin⁡θ\tau=NIAB\sin\theta

다. 코일 양쪽 도선의 힘은 크기가 같고 방향이 반대라서 전체 병진력은 상쇄될 수 있지만, 작용선이 떨어져 있어 force couple과 토크는 남는다.

μ와 B가 나란하면 토크는 0이고 에너지는 최소다. 반대 방향에서도 순간 토크는 0이지만 불안정한 평형이므로 작은 교란에 회전할 수 있다.

방향 계산은 좌표로 검산한다

손 규칙은 빠르지만 복잡한 3차원 배치에서는 좌표 계산이 더 안전하다.

  1. 기준 좌표축과 positive rotation을 먼저 그린다.
  2. 전류, L, B, r을 좌표 성분으로 적는다.
  3. 식의 외적 순서를 유지해 determinant 또는 성분식으로 계산한다.
  4. 크기가 ab sinθ 한계를 넘지 않는지 확인한다.
  5. 결과가 force인지 torque인지 단위 N과 N·m로 구분한다.

외적은 새로운 종류의 힘을 만드는 공식이 아니다. 두 방향 사이의 수직 성분과 orientation을 보존해, 힘의 방향과 회전축을 일관되게 표현하는 연산이다.