브러시 DC 모터는 전류를 어떻게 연속 회전으로 바꿀까

작은 영구자석 DC 모터에 전압을 인가하면 정지 상태에서 큰 전류가 흐르고, 회전수가 올라가면서 전류가 줄어든다. 축을 손으로 막으면 전류가 다시 커진다. 이 거동은 자기력만으로는 설명이 끝나지 않는다. 코일 토크, 기계적 회전, 회전이 만들어내는 back EMF가 전기 회로에 다시 영향을 주는 폐루프로 봐야 한다.

이 글은 구조가 단순한 brushed permanent-magnet DC motor를 기준으로 한다. 유도모터, 동기모터, BLDC의 세부 구동 원리는 다르다.

자기장 속 두 도선이 반대 방향의 힘을 받는다

균일한 자속밀도 B 안에서 전류 I가 흐르는 유효 길이 벡터 L의 도선이 받는 힘은 다음과 같다.

$$\mathbf{F}=I\mathbf{L}\times\mathbf{B}$$

직사각형 코일의 양쪽 유효 도선에는 반대 방향의 힘이 작용한다. 전체 힘의 합은 0에 가까워도 두 힘의 작용선이 떨어져 있어 회전시키는 couple이 생긴다.

코일의 면적이 A, 감은 수가 N이면 magnetic moment는 μ=NIA n이고 토크는 다음과 같다.

$$\boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{\mu}\times\mathbf{B}$$ $$\tau=NIAB\sin\theta$$

단일 코일만 두면 μ가 B와 나란해지는 위치에서 토크가 0이 되고, 그 뒤에는 토크 방향이 바뀐다.

정류자는 회전자 전류 방향을 반 바퀴마다 바꾼다

Split-ring commutator와 brush는 회전자 위치에 따라 코일 연결을 기계적으로 전환한다. 코일이 중립축을 지날 때 전류 방향이 뒤집히므로 고정자 좌표에서 토크는 같은 회전 방향을 유지한다.

실제 모터는 여러 코일과 commutator segment를 사용해 torque ripple과 dead zone을 줄인다. 전환 순간에는 코일 인덕턴스 때문에 전류가 즉시 바뀌지 않아 brush arcing과 commutation loss가 생길 수 있다.

BLDC 모터도 회전자 위치에 맞춰 권선 전류 방향을 바꾸지만, brush와 기계식 commutator 대신 inverter와 position estimation 또는 sensor를 사용한다. “브러시가 없다”는 것이 정류가 없다는 뜻은 아니다.

토크는 전류에, back EMF는 속도에 비례한다

선형 영역의 PM DC 모터는 다음 두 상수로 단순화할 수 있다.

$$\tau_m=k_t i$$ $$e=k_e\omega$$

k_t는 torque constant N·m/A, k_e는 back-EMF constant V·s/rad다. 일관된 SI 단위를 사용하면 에너지 보존 관계에 의해 두 상수의 수치가 같다.

회전자가 돌면 코일 도체가 자기장을 가로질러 유도전압 e를 만든다. 이 전압은 인가전압에 반대 방향이므로 back EMF라고 한다. 전기 방정식은 다음과 같다.

$$V=L\frac{di}{dt}+Ri+k_e\omega$$

기계 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$J\frac{d\omega}{dt}=k_ti-b\omega-\tau_{load}$$

R, L은 armature 저항과 인덕턴스, J는 관성, b는 점성 마찰 계수다. 두 식이 전류와 속도를 서로 연결한다.

기동과 stall에서 전류가 큰 이유가 보인다

정지 순간에는 ω=0이므로 back EMF도 0이다. 전류는 인덕턴스 때문에 연속적으로 증가하지만, 전기적 과도상태가 지난 뒤 회전자가 계속 막혀 있다면

$$I_{stall}\approx\frac{V}{R}$$

가 된다. 권선 저항은 작게 설계되는 경우가 많아 stall current가 정격 연속전류보다 훨씬 클 수 있다.

회전수가 올라가면 k_eω가 커져 저항에 걸리는 전압과 전류가 줄어든다. 정상상태에서

$$I=\frac{V-k_e\omega}{R}$$

이므로 부하 토크가 커져 속도가 떨어지면 back EMF가 줄고 전류와 모터 토크가 증가한다.

12 V 모터의 속도·토크를 단순 모델로 계산해보자

다음 값을 가정한다.

• V=12 V
• R=2 Ω
• k_t=k_e=0.05 in consistent SI units
• 마찰과 전압강하는 우선 무시

Stall current와 stall torque는

$$I_{stall}=\frac{12}{2}=6\,\mathrm{A}$$ $$\tau_{stall}=0.05\times6=0.30\,\mathrm{N\cdot m}$$

다. 무부하에서 필요한 토크를 0으로 근사하면 전류도 0에 가까워지고

$$\omega_0\approx\frac{V}{k_e}=240\,\mathrm{rad/s}\approx2290\,\mathrm{rpm}$$

이다.

부하 토크가 0.15 N·m라면 필요한 전류는 3 A다. 저항 전압강하는 6 V, back EMF는 나머지 6 V이므로

$$\omega=\frac{6}{0.05}=120\,\mathrm{rad/s}\approx1146\,\mathrm{rpm}$$

가 된다. 이상적 선형 모델에서 stall torque의 절반 부하에서 무부하 속도의 절반이 되는 torque-speed 직선이 나온다.

출력과 손실을 함께 보면 운전 한계가 보인다

기계 출력은

$$P_{mech}=\tau\omega$$

이고, 권선 copper loss는

$$P_{cu}=I^2R$$

이다. 위의 절반 부하점에서 기계 출력은 0.15×120=18 W, copper loss도 3²×2=18 W다. brush loss와 iron loss를 무시한 단순 모델에서도 stall에서는 ω=0이라 기계 출력은 0인데 copper loss는 6²×2=72 W가 된다.

그래서 stall torque는 연속 운전점이 아니라 짧은 시간 허용값인 경우가 많다. 모터 데이터시트의 rated current, winding temperature, thermal resistance와 duty cycle을 확인해야 한다.

실제 모터에서는 단순 모델의 가정을 확인한다

1. Brush와 lead의 전압강하는 저전압 모터에서 무시하기 어렵다.
2. 권선 저항은 온도가 오르면 증가해 stall current와 속도 곡선을 바꾼다.
3. 자속 포화와 armature reaction은 높은 전류에서 k_t를 일정하지 않게 만든다.
4. 마찰, windage, iron loss 때문에 실제 무부하 전류는 0이 아니다.
5. PWM 구동에서는 평균전압뿐 아니라 current ripple, switching loss와 EMI를 본다.
6. 기동·역전·급정지에는 전원과 driver의 peak current 및 회생 에너지 경로가 필요하다.

DC 모터는 “전류가 자기장에서 힘을 받아 돈다”에서 시작하지만, 실제 속도와 전류는 back EMF를 통해 서로 결정된다. 힘, 정류, 전기식과 기계식을 한 흐름으로 연결해야 기동전류와 부하 특성을 설명할 수 있다.