복소평면에서 전압과 전류 페이저, 저항과 유도성 리액턴스를 직각 성분으로 나타낸 도해
복소평면에서 전압과 전류 페이저, 저항과 유도성 리액턴스를 직각 성분으로 나타낸 도해

60 Hz 전원에 저항과 인덕터를 연결하면 전압과 전류는 같은 주파수로 반복하지만 peak 시점이 다르다. 시간 파형으로 계산할 수도 있지만, 정상상태 정현파에서는 크기와 위상을 복소수 하나에 담은 페이저를 쓰면 미분방정식이 대수식으로 바뀐다.

이 글은 다음 convention을 사용한다.

v(t)=2 Re{V~ejωt}v(t)=\sqrt{2}\,\mathrm{Re}\{\tilde V e^{j\omega t}\}

~V의 크기는 peak가 아니라 RMS 값이고, e^{jωt} convention을 사용한다. 다른 문서가 e^{-jωt}를 쓰면 리액턴스와 위상 부호가 달라질 수 있다.

복소수는 직교하는 두 성분을 한 값에 담는다

복소수 z=a+jb는 실수부 a와 허수부 b를 가진다. 크기와 위상으로도 표현할 수 있다.

∣z∣=a2+b2,ϕ=atan2⁡(b,a)|z|=\sqrt{a^2+b^2},\qquad \phi=\operatorname{atan2}(b,a) z=∣z∣(cos⁡ϕ+jsin⁡ϕ)=∣z∣ejϕz=|z|(\cos\phi+j\sin\phi)=|z|e^{j\phi}

복소수 곱셈에서는 크기가 곱해지고 위상이 더해진다. j=e^{jπ/2}를 곱하면 크기는 그대로이고 위상은 +90° 회전한다.

정현파 10 V RMS, 위상 30°는 다음 페이저로 쓴다.

V~=10∠30∘ V\tilde V=10\angle30^\circ\,\mathrm{V}

이에 대응하는 시간 파형은 v(t)=√2·10 cos(ωt+30°) V다. 페이저에는 공통 시간 인자 e^{jωt}를 쓰지 않는다.

R·L·C는 복소 임피던스로 같은 형태가 된다

페이저 전압과 전류 사이의 Ohm 법칙은 다음과 같다.

V~=I~Z\tilde V=\tilde I Z

각 소자의 임피던스는 다음과 같다.

ZR=R,ZL=jωL,ZC=1jωC=−jωCZ_R=R,\qquad Z_L=j\omega L,\qquad Z_C=\frac{1}{j\omega C}=-\frac{j}{\omega C}

저항의 전압과 전류는 동상이다. 인덕터 임피던스는 +90° 방향이고, capacitor 임피던스는 -90° 방향이다. 주파수가 높아질수록 |Z_L|은 커지고 |Z_C|는 작아진다.

이 관계는 일정한 주파수의 선형 정상상태에 적용된다. switch-on transient, saturation, 시간에 따라 변하는 소자와 여러 주파수가 섞인 파형은 각 주파수 또는 시간영역 모델로 따로 다뤄야 한다.

60 Hz 직렬 RL 회로를 끝까지 계산해보자

다음 조건을 두자.

  • 공급 전압: 10 V RMS, 위상 0°
  • 저항: R=100 Ω
  • 인덕턴스: L=0.2 H
  • 주파수: f=60 Hz

각주파수와 유도성 리액턴스는 다음과 같다.

ω=2πf≈376.99 rad/s\omega=2\pi f\approx376.99\,\mathrm{rad/s} XL=ωL≈75.40 ΩX_L=\omega L\approx75.40\,\Omega

전체 임피던스는

Z=100+j75.40 ΩZ=100+j75.40\,\Omega

크기와 위상은 다음과 같다.

∣Z∣=1002+75.402≈125.24 Ω|Z|=\sqrt{100^2+75.40^2}\approx125.24\,\Omega ∠Z=tan⁡−1(75.40100)≈37.0∘\angle Z=\tan^{-1}\left(\frac{75.40}{100}\right)\approx37.0^\circ

전류 페이저는

I~=10∠0∘125.24∠37.0∘≈79.85∠−37.0∘ mA\tilde I=\frac{10\angle0^\circ}{125.24\angle37.0^\circ} \approx79.85\angle-37.0^\circ\,\mathrm{mA}

전류가 전압보다 37° 늦는다. 시간 파형의 전류 peak는 √2×79.85 mA≈112.9 mA다.

저항과 인덕터에 걸리는 전압을 따로 계산하면 페이저 합의 의미도 확인할 수 있다.

V~R=I~R≈7.985∠−37.0∘ V\tilde V_R=\tilde I R\approx7.985\angle-37.0^\circ\,\mathrm{V} V~L=I~(jXL)≈6.020∠53.0∘ V\tilde V_L=\tilde I(jX_L)\approx6.020\angle53.0^\circ\,\mathrm{V}

두 RMS 크기를 산술적으로 더하면 14.0 V가 되지만 실제 공급전압은 10 V다. 두 전압은 90° 위상차가 있으므로 복소평면에서 더해야 한다.

V~R+V~L≈10.00∠0∘ V\tilde V_R+\tilde V_L\approx10.00\angle0^\circ\,\mathrm{V}

전압계로 각 소자의 RMS를 따로 측정한 뒤 숫자만 더하면 공급전압보다 큰 값이 나올 수 있는 이유다.

복소전력은 RMS 페이저와 켤레를 사용한다

복소전력은 다음과 같이 정의한다.

S~=V~I~∗=P+jQ\tilde S=\tilde V\tilde I^*=P+jQ

별표는 complex conjugate다. 위 RL 회로에서

P=Irms2R≈0.638 WP=I_{rms}^2R\approx0.638\,\mathrm{W} Q=Irms2XL≈0.481 varQ=I_{rms}^2X_L\approx0.481\,\mathrm{var} ∣S~∣=VrmsIrms≈0.799 VA|\tilde S|=V_{rms}I_{rms}\approx0.799\,\mathrm{VA}

역률은 다음과 같다.

PF=P∣S~∣=cos⁡37.0∘≈0.798PF=\frac{P}{|\tilde S|}=\cos37.0^\circ\approx0.798

e^{jωt} convention에서 인덕터의 reactive power는 양수, capacitor는 음수다. RMS 페이저를 썼기 때문에 복소전력 식에 1/2이 붙지 않는다. peak phasor를 사용하는 문서에서는 1/2 계수가 필요하다.

계산이 맞는지 세 방향으로 확인한다

  1. |S|²=P²+Q²가 성립하는지 확인한다.
  2. 각 소자의 전압 페이저 합이 공급 전압과 같은지 확인한다.
  3. 시간영역 평균전력 V_rms I_rms cosφ가 P와 같은지 확인한다.

복소수는 실제로 존재하지 않는 전압을 추가하는 장치가 아니다. 같은 주파수의 정현파에서 직교하는 두 성분을 보존해 크기와 위상 계산을 동시에 수행하는 좌표 체계다.