라플라스 변환은 왜 감쇠와 진동을 잘 보여줄까, 끓인 물부터 DC 모터까지

전달함수를 이해해 보려다가 라플라스 변환 앞에서 다시 멈췄다.

대학 때는 변환표를 펴 놓고 s를 붙였다 떼는 계산으로 배웠던 것 같다. 그때 누군가 “이건 자연에서 자주 보이는 감쇠와 진동을 한꺼번에 읽기 위한 언어”라고 먼저 말해 줬다면 조금 덜 막막했을지도 모른다. 물론 수업을 들은 사람이 나였으므로 교수님에게만 책임을 맡길 수는 없다. 수학은 가끔 설명보다 복습을 더 오래 기다린다.

이번에 다시 보면서 잡힌 감각은 이렇다.

라플라스 변환은 시간에 따라 변하는 현상을 복소지수의 관점에서 다시 적고, 미분방정식을 대수방정식으로 바꾸는 방법이다. 지수함수는 성장과 감쇠를, 사인과 코사인은 진동을 표현한다. 라플라스 변환의 복소변수 s는 이 둘을 한 식 안에 넣는다.

다만 “라플라스 변환은 e, sin, cos 세 가지를 베이스로 삼는다”라고 말하면 절반쯤 맞고 절반쯤 다듬을 필요가 있다. 중심에 있는 것은 하나의 복소지수함수다.

$$s=\sigma+j\omega$$ $$e^{st}=e^{\sigma t}e^{j\omega t} =e^{\sigma t}\left(\cos\omega t+j\sin\omega t\right)$$

여기서 σ는 시간이 흐를수록 크기가 어떻게 변하는지를 정하고, ω는 얼마나 빠르게 도는지를 정한다.

• σ<0: 시간이 흐르면 줄어드는 감쇠
• σ=0: 크기가 줄지 않는 순수 진동
• σ>0: 시간이 흐를수록 커지는 불안정한 성장
• ω=0: 진동하지 않는 순수 지수 변화
• ω≠0: 사인과 코사인으로 보이는 진동

자연이 라플라스 변환을 알고 움직이는 것은 아니다. 다만 열, 회로, 진동, 모터를 선형 미분방정식으로 근사하면 그 해가 이런 복소지수들의 합으로 나타난다. 라플라스 변환은 그 구조와 아주 잘 맞는다.

복소지수는 미분을 당해도 자기 모양을 잃지 않는다

라플라스 변환이 미분방정식에 강한 가장 짧은 이유는 다음 한 줄에 있다.

$$\frac{d}{dt}e^{st}=se^{st}$$

복소지수함수를 미분하면 모양은 그대로 있고 s만 곱해진다. 두 번 미분하면 s^2, 세 번 미분하면 s^3이 곱해진다.

시간영역에서 미분은 함수의 모양을 계속 바꾸는 연산처럼 보인다. 그러나 복소지수의 관점에서는 s를 곱하는 대수 연산이 된다. 그래서 라플라스 변환을 거치면 미분방정식이 다항식 계산으로 바뀐다.

단방향, 즉 t=0부터 이후를 보는 라플라스 변환은 보통 이렇게 정의한다.

$$F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} =\int_{0^-}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt$$

이 적분은 시간함수 f(t)를 여러 s=σ+jω의 관점에서 압축해 F(s)라는 함수로 다시 적는다. s의 실수부는 수렴과 감쇠 방향을, 허수부는 진동 방향을 읽게 해 준다.

푸리에 변환과도 친척이다. 수렴 조건이 맞을 때 라플라스 변환을 s=jω, 즉 σ=0인 축에서 보면 푸리에 변환과 이어진다. 푸리에 변환이 주로 “어떤 주파수가 들어 있는가”를 묻는다면, 라플라스 변환은 감쇠·성장과 초기조건까지 포함한 시스템의 과도응답을 다루기에 더 편하다.

라플라스 변환이 실제 공학에서 쓰이는 곳

라플라스 변환은 특정 전공 하나의 계산 도구가 아니다. 시간에 따른 변화가 있고, 그 변화를 선형 미분방정식으로 모델링할 수 있는 곳이면 반복해서 등장한다.

실제 시스템은 마찰, 포화, 히스테리시스, 온도 의존성 같은 비선형성을 가진다. 그래도 특정 동작점 근처에서 선형화하거나 동작 구간을 나누면 라플라스 모델은 여전히 강력한 첫 번째 근사가 된다.

전달함수는 라플라스 변환으로 만든 입력과 출력의 비다

선형 시불변 시스템을 다음처럼 적어 보자.

$$a_n\frac{d^ny}{dt^n}+\cdots+a_1\frac{dy}{dt}+a_0y =b_m\frac{d^mu}{dt^m}+\cdots+b_1\frac{du}{dt}+b_0u$$

초기조건을 모두 0으로 놓고 라플라스 변환하면 미분 연산이 s의 거듭제곱으로 바뀐다.

$$\left(a_ns^n+\cdots+a_1s+a_0\right)Y(s) =\left(b_ms^m+\cdots+b_1s+b_0\right)U(s)$$

따라서 입력 U(s)에 대한 출력 Y(s)의 비는 다음과 같다.

$$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)} =\frac{b_ms^m+\cdots+b_1s+b_0} {a_ns^n+\cdots+a_1s+a_0}$$

이 G(s)가 전달함수다.

여기서 중요한 조건이 하나 있다. 라플라스 변환은 초기조건을 포함할 수 있지만, 전달함수는 초기조건을 0으로 두고 정의한다. 이미 움직이고 있던 스프링이나 충전되어 있던 커패시터의 응답까지 계산할 때는 초기조건 항을 별도로 넣어야 한다.

분모를 0으로 만드는 값은 극점(pole), 분자를 0으로 만드는 값은 영점(zero)이다. 극점은 입력이 사라진 뒤 시스템 안에 남는 자연스러운 움직임과 안정성을 강하게 결정한다. 음의 실수부를 가진 극점은 감쇠하고, 허수부를 가진 극점은 진동을 만든다.

최소한으로 기억할 라플라스 변환식

변환표 전체를 외우기보다 몇 개의 기본쌍과 미분 법칙을 확실히 기억하는 편이 낫다. 아래 식에서 신호는 t≥0인 인과적 신호로 본다.

계산에서는 다음 성질이 더 중요하다.

선형성

$$\mathcal{L}\{af(t)+bg(t)\}=aF(s)+bG(s)$$

1차와 2차 미분

$$\mathcal{L}\left\{\frac{df}{dt}\right\} =sF(s)-f(0^-)$$ $$\mathcal{L}\left\{\frac{d^2f}{dt^2}\right\} =s^2F(s)-sf(0^-)-f'(0^-)$$

초기값이 왜 계산에 들어가는지를 보여 주는 핵심 식이다.

적분

$$\mathcal{L}\left\{\int_0^t f(\tau)\,d\tau\right\} =\frac{F(s)}{s}$$

시간 지연

$$\mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\}=e^{-as}F(s)$$

convolution

$$\mathcal{L}\{f*g\}=F(s)G(s)$$

시간영역에서 길게 적분해야 하는 convolution이 s영역에서는 단순한 곱셈이 된다. 여러 블록을 직렬로 연결할 때 전달함수가 곱해지는 이유와 이어진다.

초기값·최종값 정리

$$f(0^+)=\lim_{s\to\infty}sF(s)$$ $$\lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{s\to0}sF(s)$$

최종값 정리는 아무 함수에나 쓸 수 있는 지름길은 아니다. sF(s)의 극점이 안정 조건을 만족해 실제 최종값이 존재할 때만 쓴다. 발산하거나 영원히 진동하는 응답에는 그대로 적용할 수 없다.

이 중에서 정말 먼저 외울 것은 1/s, 지수·사인·코사인 쌍, 그리고 1차·2차 미분 공식이다. 나머지는 필요할 때 변환표를 확인해도 된다. 공학은 기억력 대회라기보다 무엇을 찾아야 하는지 아는 쪽에 가깝다.

이제 숫자를 넣어 보자. 아래의 계수는 모두 원리를 보기 좋게 만든 계산 예시값이며 특정 물체나 제품의 대표값이 아니다.

예제 1: 100°C 물이 25°C 실내에서 식는다

물과 컵의 온도가 내부에서 거의 균일하고, 실내 온도와 열전달 조건이 일정하다고 단순화하자. 뉴턴의 냉각 법칙은 물과 주변의 온도차가 클수록 더 빨리 식는다고 말한다.

실내 온도를 T_a=25°C, 물의 온도를 T(t), 온도차를 θ(t)=T(t)-T_a라고 두자. 처음 물은 100°C이므로 θ(0)=75°C다. 냉각계수를 k=0.1 min^{-1}로 가정하면

$$\frac{d\theta}{dt}=-0.1\theta, \qquad \theta(0)=75$$

양변을 라플라스 변환한다.

$$s\Theta(s)-75=-0.1\Theta(s)$$ $$(s+0.1)\Theta(s)=75$$ $$\Theta(s)=\frac{75}{s+0.1}$$

1/(s+a)가 e^{-at}에 대응하므로 역변환하면

$$\theta(t)=75e^{-0.1t}$$

따라서 실제 물의 온도는

$$T(t)=25+75e^{-0.1t}\quad[°C]$$

이고 라플라스영역에서는

$$T(s)=\frac{25}{s}+\frac{75}{s+0.1}$$

이다.

t=10 min일 때는

$$T(10)=25+75e^{-1}\approx52.6°C$$

t=30 min일 때는

$$T(30)=25+75e^{-3}\approx28.7°C$$

이다. 극점은 s=-0.1 min^{-1} 하나다. 그 역수인 τ=10 min을 시정수(time constant)라고 한다. 한 시정수가 지나면 처음 온도차의 약 36.8%, 세 시정수가 지나면 약 5.0%가 남는다.

최종값 정리로도 실내 온도로 수렴하는지 확인할 수 있다.

$$\lim_{t\to\infty}T(t) =\lim_{s\to0}sT(s) =25°C$$

실제 끓인 물은 초기에 증발하고, 컵도 함께 식으며, 자연대류 계수도 일정하지 않다. 이 식은 그 복잡한 현상을 하나의 열용량과 하나의 열저항으로 뭉친 1차 근사다. 그래도 “온도차가 지수적으로 줄어든다”는 기본 감각은 잘 보여 준다.

예제 2: 스프링 물체가 띠용띠용하다 멈춘다

수평면에서 질량 m=1 kg인 물체가 스프링과 댐퍼에 연결되어 있다고 하자.

• 질량: m=1 kg
• 감쇠계수: c=2 N·s/m
• 스프링 상수: k=25 N/m
• 처음 당긴 거리: x(0)=0.1 m
• 처음 속도: x'(0)=0 m/s

평형점에서 놓은 뒤 외력이 없다면 운동방정식은

$$m\frac{d^2x}{dt^2}+c\frac{dx}{dt}+kx=0$$

이고 숫자를 넣으면

$$x''+2x'+25x=0$$

이다. 라플라스 변환을 적용하면

$$\left(s^2X-sx(0)-x'(0)\right) +2\left(sX-x(0)\right)+25X=0$$

초기조건을 넣어 정리한다.

$$(s^2+2s+25)X(s)=0.1s+0.2$$ $$X(s)=\frac{0.1s+0.2}{s^2+2s+25}$$

분모와 분자를 s+1 중심으로 바꾸면 역변환표의 감쇠 사인·코사인 형태가 보인다.

$$X(s)= \frac{0.1(s+1)}{(s+1)^2+24} +\frac{0.1}{(s+1)^2+24}$$

따라서

$$x(t)=0.1e^{-t}\cos(\sqrt{24}t) +\frac{0.1}{\sqrt{24}}e^{-t}\sin(\sqrt{24}t)\quad[m]$$

이다.

극점은

$$s=-1\pm j\sqrt{24} \approx-1\pm j4.899$$

이다. 실수부 -1은 진폭 포락선이 대략 e^{-t}로 줄어든다는 뜻이고, 허수부 4.899 rad/s는 감쇠된 진동 속도를 뜻한다. 주파수로 바꾸면 약 0.780 Hz다.

이 응답의 진폭 포락선은 약 0.102e^{-t} m다. 5 s 뒤에는 0.69 mm보다 작다. 수학식에서는 지수함수가 정확히 0이 되지 않으므로 “완전히 멈추는 순간”은 무한히 뒤에 있다. 현실에서는 마찰의 비선형성, 센서 분해능, 눈의 한계 때문에 어느 순간 멈춘 것으로 보인다.

감쇠의 종류는 c^2와 4mk를 비교하면 구분된다.

이 예제는 2^2<4·1·25이므로 부족감쇠다. 우리가 말하는 “띠용띠용”이 바로 분모의 켤레복소 극점으로 나타난다.

예제 3: RLC 회로에서도 전기가 같은 모양으로 띠용거린다

직렬 RLC 회로에 10 V의 계단전압을 연결한다고 하자. 처음 커패시터는 충전되지 않았고 전류도 0이다.

• 인덕턴스: L=1 H
• 저항: R=2 Ω
• 커패시턴스: C=0.04 F
• 입력: v_s(t)=10u(t) V
• 초기 전하와 전류: q(0)=0 C, i(0)=0 A

이 부품값은 앞의 스프링과 분모가 똑같아지도록 고른 계산 예시다. 일반적인 소형 전자회로의 대표 부품값이라는 뜻은 아니다.

키르히호프 전압법칙을 전하 q(t)로 적으면

$$L\frac{d^2q}{dt^2}+R\frac{dq}{dt}+\frac{1}{C}q=v_s(t)$$

이고 i=dq/dt다. 숫자를 넣으면

$$q''+2q'+25q=10u(t)$$

이다. 스프링 식 x''+2x'+25x=0과 거의 같은 얼굴이다. 입력만 오른쪽에 추가되었다.

초기조건이 0이므로 라플라스 변환은

$$(s^2+2s+25)Q(s)=\frac{10}{s}$$ $$Q(s)=\frac{10}{s(s^2+2s+25)}$$

가 된다. 전류는 i=dq/dt이고 초기 전하가 0이므로

$$I(s)=sQ(s)=\frac{10}{s^2+2s+25} =\frac{10}{(s+1)^2+24}$$

이다. 역변환하면

$$i(t)=\frac{10}{\sqrt{24}}e^{-t}\sin(\sqrt{24}t)\quad[A]$$

이다. 전류는 처음에 0에서 출발해 약 0.280 s에서 약 1.51 A의 첫 봉우리에 도달한 뒤, 방향을 바꾸며 점점 작아진다.

커패시터 전압은 v_C=q/C=25q이므로

$$v_C(t)=10\left[ 1-e^{-t}\left( \cos(\sqrt{24}t) +\frac{1}{\sqrt{24}}\sin(\sqrt{24}t) \right) \right]\quad[V]$$

이다. 충분히 오래 지나면 커패시터 전압은 10 V가 되고 전류는 0이 된다. 직류 정상상태에서 커패시터가 전류를 막기 때문이다.

스프링과 RLC의 대응을 나란히 놓으면 우연이 아니라는 것이 더 잘 보인다.

두 예제의 극점은 똑같이 -1±j4.899다. 한쪽에서는 쇳덩이가 흔들리고, 다른 쪽에서는 전하와 전류가 움직이지만, 라플라스영역에서는 같은 분모를 가진다. 공학에서 서로 다른 분야의 그림이 갑자기 같은 식으로 합쳐지는 순간이다.

예제 4: DC 모터의 전압·전류·속도에도 라플라스가 적용될까

적용된다. 오히려 DC 모터는 라플라스 변환과 전달함수가 가장 자연스럽게 등장하는 예제 중 하나다. 전기회로가 전류를 만들고, 전류가 토크를 만들고, 회전속도가 다시 역기전력을 만들어 전류에 영향을 준다. 전기계와 기계계가 서로 물려 있다.

자속이 일정한 armature-controlled DC 모터를 단순화하면 전기식은

$$v(t)=L\frac{di}{dt}+Ri+K_e\omega$$

이고 기계식은

$$J\frac{d\omega}{dt}+b\omega=K_ti$$

이다.

각 항의 의미는 다음과 같다.

부하토크가 있다면 기계식 오른쪽에 -τ_L을 추가한다. 여기서는 결합 구조만 보기 위해 부하토크를 0으로 둔다.

초기 전류와 속도가 0일 때 라플라스 변환하면

$$V(s)=(Ls+R)I(s)+K_e\Omega(s)$$ $$(Js+b)\Omega(s)=K_tI(s)$$

이다. 두 식에서 I(s) 또는 Ω(s)를 소거하면 전압에서 속도로 가는 전달함수와 전압에서 전류로 가는 전달함수가 나온다.

$$\frac{\Omega(s)}{V(s)} =\frac{K_t} {(Ls+R)(Js+b)+K_eK_t}$$ $$\frac{I(s)}{V(s)} =\frac{Js+b} {(Ls+R)(Js+b)+K_eK_t}$$

축 위치 θ가 출력이라면 ω=dθ/dt이므로 속도 전달함수에 1/s를 한 번 더 곱하면 된다.

이번에도 계산이 보이도록 다음 예시값을 쓰자.

• 입력전압: v(t)=12u(t) V
• R=2 Ω, L=0.5 H
• K_t=0.5 N·m/A, K_e=0.5 V/(rad/s)
• J=0.1 kg·m², b=0.1 N·m·s/rad

이 값도 특정 모터의 사양이 아니라 수식을 읽기 위한 가정값이다. 분모는

$$(0.5s+2)(0.1s+0.1)+0.5\cdot0.5 =0.05s^2+0.25s+0.45$$

가 된다. 따라서

$$\frac{\Omega(s)}{V(s)} =\frac{10}{s^2+5s+9}$$ $$\frac{I(s)}{V(s)} =\frac{2s+2}{s^2+5s+9}$$

이다. 12 V 계단입력의 라플라스 변환은 12/s이므로

$$\Omega(s)=\frac{120}{s(s^2+5s+9)}$$ $$I(s)=\frac{12(2s+2)}{s(s^2+5s+9)}$$

이다.

$$\beta=\frac{\sqrt{11}}{2}\approx1.658$$

라고 두고 부분분수로 나눈 뒤 역변환하면 속도는

$$\omega(t)=\frac{40}{3} -\frac{40}{3}e^{-2.5t}\cos(\beta t) -\frac{100}{3\beta}e^{-2.5t}\sin(\beta t) \quad[rad/s]$$

이고 전류는

$$i(t)=\frac{8}{3} -\frac{8}{3}e^{-2.5t}\cos(\beta t) +\frac{52}{3\beta}e^{-2.5t}\sin(\beta t) \quad[A]$$

이다.

최종값 정리로 정상상태를 먼저 확인해 보자.

$$\omega(\infty) =\lim_{s\to0}s\Omega(s) =\frac{120}{9} \approx13.33\,rad/s$$

이는 약 127 rpm이다.

$$i(\infty) =\lim_{s\to0}sI(s) =\frac{24}{9} \approx2.67\,A$$

전원을 막 연결한 순간에는 회전속도가 0이므로 역기전력 K_eω도 0이다. 인덕턴스 때문에 전류가 순간적으로 뛰지는 못하지만 초기 기울기는

$$\left.\frac{di}{dt}\right|_{0^+}=\frac{12}{0.5}=24\,A/s$$

로 시작한다. 전류가 토크 K_ti를 만들면서 속도가 올라가면 역기전력이 커지고, 코일에 실제로 전류를 밀어 넣는 전압은 줄어든다. 결국

$$12=Ri+K_e\omega$$ $$b\omega=K_ti$$

를 동시에 만족하는 ω≈13.33 rad/s, i≈2.67 A에 정착한다.

즉 모터의 전류는 단순히 V/R로 끝나지 않는다. 정지 순간에는 인덕턴스가 전류의 빠른 변화를 막고, 회전하기 시작하면 역기전력이 전류를 줄이며, 관성과 마찰이 속도의 과도응답을 결정한다. 라플라스 변환은 이 두 세계를 하나의 분모로 묶는다.

실제 모터에서는 부하토크, 정지마찰, 철손, 자속 포화, 브러시 전압강하, 전원과 드라이버의 전류 제한도 고려해야 한다. 작은 인덕턴스를 무시하면 전기식을 대수식으로 줄여 1차 속도 모델을 만들기도 하지만, 전류의 초기 과도응답까지 보려면 L을 남겨야 한다.

네 현상은 결국 극점의 위치로 이어진다

지금까지의 예제를 한 줄씩 줄이면 다음과 같다.

분모는 시스템 안에 무엇이 에너지를 저장하고 무엇이 에너지를 소모하는지 담고 있다. 입력이 1/s인 계단인지, 순간적인 impulse인지, 사인파인지에 따라 출력의 구체적인 모양은 달라지지만 시스템 고유의 극점은 그대로 남는다.

이제 전달함수를 볼 때 분자와 분모를 단순한 다항식으로만 보지 않아도 된다.

• 분모는 질량, 관성, 인덕턴스, 커패시턴스, 마찰, 저항처럼 시스템 내부의 물리를 담는다.
• 극점은 입력을 치운 뒤에도 남는 자연응답의 감쇠와 진동을 말한다.
• 분자는 입력을 어디에 넣고 출력을 어디에서 보느냐에 따라 달라진다.
• 입력을 곱하면 출력이 되고, 역라플라스 변환하면 다시 시간의 움직임이 된다.

라플라스 변환이 자연을 억지로 지수함수와 사인파에 끼워 맞추는 것은 아니다. 선형화된 자연의 미분방정식이 원래 복소지수의 조합으로 움직이기 때문에, 라플라스 변환이 그 움직임을 읽기에 유난히 잘 맞는 것이다.

대학 때 이 말을 먼저 들었다면 정말 더 똑똑해졌을지는 모르겠다. 하지만 적어도 1/s를 외우면서 이것이 왜 갑자기 나왔는지 덜 억울했을 것 같다. 지금 다시 보는 것도 늦지는 않았다. 전달함수의 분모가 이제는 식이 아니라, 물이 식고 스프링이 흔들리고 전류가 오가고 모터가 속도를 얻는 장면처럼 보이기 시작했으니 말이다.