2차 미분방정식은 왜 스프링·RLC·자동차에서 같은 모양일까

2차 미분방정식의 물리 예시를 찾아보면 자동차의 위치·속도·가속도에서 시작해 PID, 스프링, RLC 회로, 베르누이 방정식, 유한요소해석까지 한꺼번에 등장하곤 한다. 모두 공학에서 중요한 주제지만, 처음 보는 입장에서는 오히려 질문이 늘어난다.

왜 스프링이 달린 물체의 식에 위치와 속도와 가속도가 동시에 들어가는가? 왜 전혀 다르게 생긴 RLC 회로가 같은 식을 쓰는가? 그리고 그래프가 띠용띠용하다가 멈출지, 천천히 원위치로 갈지는 식의 어디를 보면 아는가?

이 글에서는 범위를 한 줄로 좁힌다.

2차 미분방정식은 현재의 위치만으로 다음 움직임을 정할 수 없고, 위치와 움직이는 속도를 함께 알아야 하는 동적 시스템의 언어다.

대표 예제로 질량-스프링-댐퍼를 끝까지 계산한 다음, 같은 구조가 RLC 회로와 자동차 진동 모델로 어떻게 확장되는지 연결해 보자.

‘2차’는 어려움의 등급이 아니라 가장 높은 미분의 차수다

어떤 물체의 위치를 x(t)라고 두면

$$x'(t)=\frac{dx}{dt}$$

는 속도이고

$$x''(t)=\frac{d^2x}{dt^2}$$

는 가속도다. x''가 들어간 식을 2차 미분방정식이라고 부르는 이유는 가장 높은 미분이 두 번 미분한 항이기 때문이다. 항이 많아서 2차인 것도, 제곱이 보여서 2차인 것도 아니다.

예를 들어

$$m x''+c x'+kx=F(t)$$

는 x''가 가장 높으므로 2차다. 반면 x^2+x=1에는 미분이 없으므로 2차 미분방정식이 아니라 대수방정식이다.

2차 시스템을 풀 때 초기조건이 두 개 필요한 이유도 여기서 나온다.

$$x(0)=x_0,\qquad x'(0)=v_0$$

같은 위치에 있는 물체라도 오른쪽으로 움직이는 중인지, 왼쪽으로 움직이는 중인지, 정지해 있는지에 따라 다음 순간이 달라진다. 그래서 초기 위치와 초기 속도를 모두 알아야 미래의 궤적 하나가 정해진다.

식을 외우기 전에 힘을 한 방향으로 더해 보자

수평면 위의 질량 m이 왼쪽 벽에 스프링과 댐퍼로 연결되어 있고, 오른쪽으로 외력 F(t)를 받는다고 하자. 오른쪽을 +x 방향으로 정한다.

• 외력은 오른쪽으로 +F(t)
• 스프링은 늘어난 방향의 반대로 -kx
• 댐퍼는 움직이는 방향의 반대로 -cx'
• 이 힘들의 합은 뉴턴의 제2법칙에 따라 mx''

따라서

$$F(t)-cx'-kx=mx''$$

이고 저항하는 항들을 왼쪽으로 옮기면 익숙한 식이 나온다.

$$\boxed{mx''+cx'+kx=F(t)}$$

각 항의 단위가 모두 힘인지 확인하면 부호나 계수 실수를 잡기 쉽다.

스프링은 위치를 기억하고, 질량은 속도를 계속 유지하려 하고, 댐퍼는 움직임을 열로 바꿔 없앤다. 이 세 성질의 경쟁이 그래프의 모양을 만든다.

복잡한 세 계수를 두 숫자로 읽는다

양변을 질량 m으로 나누면

$$x''+\frac{c}{m}x'+\frac{k}{m}x=\frac{F(t)}{m}$$

이다. 이를 표준형

$$x''+2\zeta\omega_nx'+\omega_n^2x=\frac{F(t)}{m}$$

과 비교하면 두 핵심 숫자가 보인다.

$$\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}$$ $$\zeta=\frac{c}{2\sqrt{km}}=\frac{c}{2m\omega_n}$$

• 고유각주파수 ω_n: 시스템이 본래 얼마나 빠르게 움직이려 하는가
• 감쇠비 ζ: 그 움직임이 얼마나 빨리 사라지는가

계산 예제로 다음 값을 사용하자.

$$m=1\ \mathrm{kg},\qquad c=2\ \mathrm{N\!\cdot\!s/m},\qquad k=25\ \mathrm{N/m}$$

그러면

$$\omega_n=\sqrt{25/1}=5\ \mathrm{rad/s}$$ $$\zeta=\frac{2}{2\sqrt{25}}=0.2$$

이다. 고유진동수를 Hz로 바꾸면

$$f_n=\frac{\omega_n}{2\pi}=\frac{5}{2\pi}\approx0.796\ \mathrm{Hz}$$

이므로 한 번 진동하는 데 약 1.26 s가 걸리는 계통이다. 다만 실제 감쇠진동의 각주파수는

$$\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} =5\sqrt{0.96}=\sqrt{24}\approx4.899\ \mathrm{rad/s}$$

로 조금 낮다.

실제 숫자를 라플라스 변환해 자유응답을 구해 보자

물체를 평형점에서 오른쪽으로 0.1 m 당겼다가 정지 상태로 놓는다고 하자.

$$x(0)=0.1\ \mathrm{m},\qquad x'(0)=0$$

놓은 뒤에는 외력이 없으므로

$$x''+2x'+25x=0$$

이다. X(s)=\mathcal L\{x(t)\}라 하고 라플라스 변환하면

$$\mathcal L\{x''\}=s^2X(s)-sx(0)-x'(0)$$ $$\mathcal L\{x'\}=sX(s)-x(0)$$

이므로

$$s^2X-0.1s+2(sX-0.1)+25X=0$$ $$(s^2+2s+25)X=0.1s+0.2$$ $$X(s)=\frac{0.1(s+2)}{(s+1)^2+24}$$

가 된다. 역변환하기 좋은 모양으로 나누면

$$X(s)=0.1\frac{s+1}{(s+1)^2+24} +\frac{0.1}{\sqrt{24}}\frac{\sqrt{24}}{(s+1)^2+24}$$

이므로

$$\boxed{x(t)=0.1e^{-t}\left(\cos\sqrt{24}t+\frac{1}{\sqrt{24}}\sin\sqrt{24}t\right)}$$

이다. 이 식에서 e^{-t}는 파형을 감싸며 줄어드는 봉투이고, 사인과 코사인은 그 안에서 왕복하는 진동이다.

• t=0.25 s: x≈41.4 mm
• t=0.50 s: x≈-38.8 mm
• t=1.00 s: x≈-0.55 mm

1 s에서 순간 변위는 거의 0이지만, 이미 완전히 멈춘 것은 아니다. 진동 중 우연히 평형점을 지날 수도 있기 때문이다. 한 시각의 위치만 보고 정착을 판단하지 말고 이후의 봉투나 속도까지 봐야 한다.

분모의 근, 즉 극점은

$$s^2+2s+25=0$$ $$s=-1\pm j\sqrt{24}=-1\pm j4.899$$

다. 실수부 -1은 감쇠 속도를, 허수부 ±4.899는 진동 속도를 나타낸다. 앞에서 공부한 복소평면과 라플라스 변환이 바로 이 지점에서 실제 움직임의 모양으로 이어진다.

감쇠를 키우면 무조건 더 빨리 멈출까

질량 m=1 kg과 스프링 k=25 N/m를 그대로 두고 댐퍼 c만 바꾸어 보자. c=2ζmω_n=10ζ이므로 감쇠비마다 필요한 댐퍼 값과 극점은 다음과 같다.

여기서 중요한 반전이 있다. 댐퍼가 클수록 언제나 빨리 돌아오는 것은 아니다. 임계감쇠는 오버슈트 없이 가장 빠른 경계이고, 그보다 감쇠가 너무 크면 물체가 끈적한 액체 속을 움직이듯 천천히 복귀한다. 도어 클로저를 너무 세게 조이면 문이 흔들리지는 않지만 마지막까지 답답하게 닫히는 것과 비슷한 감각이다.

에너지로 보면 ‘왜 멈추는지’가 더 선명하다

질량과 스프링에 저장된 기계 에너지는

$$E=\frac12mx'^2+\frac12kx^2$$

이다. 양변을 시간으로 미분하면

$$\frac{dE}{dt}=x'(mx''+kx)$$

이고 운동방정식 mx''+cx'+kx=F를 넣으면

$$\boxed{\frac{dE}{dt}=F x'-c{x'}^2}$$

가 된다.

외력이 없을 때는

$$\frac{dE}{dt}=-c{x'}^2\le0$$

이므로 저장 에너지는 늘어날 수 없다. 질량의 운동에너지와 스프링의 위치에너지가 서로 왕복 교환되는 동안, 댐퍼가 매 순간 cx'^2만큼을 열로 바꾼다. 그래서 진폭이 줄고 마침내 멈춘다.

이 관점은 실제 고장의 원인도 설명한다. 공진으로 진폭이 커지면 속도도 커지고, 댐퍼에서 소모되는 평균 전력과 부품의 열·피로 부담도 커진다.

RLC 회로는 왜 똑같은 식을 가질까

직렬 RLC 회로에 키르히호프 전압법칙을 적용하면

$$L\frac{di}{dt}+Ri+\frac{q}{C}=V(t)$$

이다. 전류는 전하의 시간 변화율 i=q'이므로

$$\boxed{Lq''+Rq'+\frac{1}{C}q=V(t)}$$

가 된다. 질량-스프링-댐퍼와 나란히 놓으면 항별 역할이 정확히 대응한다.

여기서 커패시터 C 자체가 스프링 강성 k와 대응하는 것이 아니라 1/C가 k와 대응한다는 점이 중요하다.

수치도 일부러 같게 만들어 보자.

$$L=1\ \mathrm H,\qquad R=2\ \Omega,\qquad C=0.04\ \mathrm F$$

그러면

$$Lq''+Rq'+\frac{1}{C}q =q''+2q'+25q$$

가 되어 기계 예제와 분모가 완전히 같다.

$$\omega_n=\frac{1}{\sqrt{LC}}=5\ \mathrm{rad/s}$$ $$\zeta=\frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}=0.2$$

초기에 커패시터에 q(0)=0.04 C, 즉 v_C(0)=q/C=1 V가 저장되어 있고 전류 i(0)=0인 채 전원을 분리하면

$$q(t)=0.04e^{-t}\left(\cos\sqrt{24}t+\frac{1}{\sqrt{24}}\sin\sqrt{24}t\right)$$

이다. 기계 변위와 단위만 다를 뿐 감쇠 봉투와 진동 주기는 같다. 인덕터의 자기 에너지 Li^2/2와 커패시터의 전기 에너지 q^2/(2C)가 왕복하고, 저항에서 Ri^2가 열로 빠져나가기 때문이다.

전류를 주 변수로 쓰고 싶다면 원래 KVL 식을 한 번 더 미분해

$$Li''+Ri'+\frac{1}{C}i=V'(t)$$

로 쓸 수 있다. 다만 계단전압의 미분에는 임펄스가 생길 수 있으므로, 초기조건을 이해할 때는 전하 q나 v_C와 전류 i를 상태로 두는 편이 더 자연스럽다.

외력이 반복되면 공진이 생긴다

이제 일정한 주파수로 힘을 반복해서 가해 보자.

$$mx''+cx'+kx=F_0\cos\omega t$$

충분히 시간이 지난 정상상태의 변위 진폭은

$$X=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}}$$

이다. 정적인 힘 F_0를 가했을 때의 변위 F_0/k로 나눈 확대율을 M이라 하고 r=ω/ω_n로 두면

$$\boxed{M=\frac{X}{F_0/k} =\frac{1}{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}}}$$

가 된다.

앞의 m=1, c=2, k=25, 즉 ζ=0.2인 시스템에 진폭 F_0=1 N의 힘을 가한다고 하자. 정적 변위는

$$\frac{F_0}{k}=\frac{1}{25}=0.04\ \mathrm m$$

이다. 입력 주파수가 고유진동수와 같은 r=1, 즉 ω=5 rad/s이면

$$M=\frac{1}{2\zeta}=2.5$$

이므로 정상상태 진폭은

$$X=2.5\times0.04=0.10\ \mathrm m$$

까지 커진다. 같은 1 N인데 정적으로 눌렀을 때보다 2.5배 크게 흔들린다. 감쇠비가 0.1이면 r=1에서 확대율은 5, 감쇠비가 0.05이면 10이 된다. 낮은 감쇠의 회전체·구조물에서 운전속도가 고유진동수 근처를 오래 통과하지 않게 하는 이유다.

엄밀히 말해 감쇠가 있을 때 최대점은 항상 정확히 r=1은 아니다. ζ<1/√2이면

$$r_{peak}=\sqrt{1-2\zeta^2}$$

이고 ζ=0.2에서는 약 0.959다. 그래도 “고유진동수 부근에서 크게 증폭된다”는 공학적 직관은 그대로 유효하다.

바닥이 흔들릴 때는 ‘진동 절연’ 문제가 된다

자동차가 노면 요철을 지날 때나 기계가 방진마운트 위에 놓일 때는 힘을 직접 가하는 대신 바닥이 움직인다. 질량의 절대변위를 x(t), 바닥변위를 y(t)라고 하면 스프링과 댐퍼가 느끼는 것은 둘의 차이다.

$$mx''+c(x'-y')+k(x-y)=0$$

바닥 변위가 얼마나 질량에 전달되는지를 나타내는 변위 전달률은

$$\boxed{T=\left|\frac{X}{Y}\right| =\sqrt{\frac{1+(2\zeta r)^2}{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}}}$$

이다. 이것은 앞의 외력 확대율 M과 분자가 다르다. 두 그래프를 같은 ‘공진 그래프’로 뭉뚱그리면 방진 설계를 잘못 읽을 수 있다.

이 단순 모델에서는

$$T<1\quad\Longleftrightarrow\quad r>\sqrt2$$

일 때 진동 절연 구간에 들어간다. 예제의 ω_n=5 rad/s에서는 가진각주파수가

$$\omega>\sqrt2\omega_n=7.07\ \mathrm{rad/s}$$

즉 약 1.13 Hz보다 높아야 한다. ζ=0.2, r=2라면

$$T\approx0.412$$

이므로 바닥 변위 진폭의 약 41%가 질량에 전달된다.

감쇠를 크게 하면 공진점 부근의 봉우리는 낮아지지만, 높은 주파수의 절연 성능은 오히려 나빠질 수 있다. 실제 방진마운트 설계가 “댐퍼를 가능한 크게”로 끝나지 않는 이유다. 공진 통과, 정상 운전속도, 허용 변위, 하중과 내구성을 함께 본다.

자동차와 유한요소해석에서는 식이 어떻게 커질까

자동차 차체를 위아래로만 움직이는 질량 하나로 단순화하면 한 개의 2차 방정식으로 시작할 수 있다. 그러나 차체의 위아래 움직임인 바운스와 앞뒤 기울기인 피치를 함께 보면 좌표가 두 개가 된다.

$$\mathbf M\mathbf x''+\mathbf C\mathbf x'+\mathbf K\mathbf x=\mathbf f(t)$$

여기서 x는 숫자 하나가 아니라 여러 변위를 모은 벡터이고, M, C, K는 행렬이다. 자유도가 두 개면 서로 결합된 2차 방정식 두 개가 생기고, 상태공간 관점에서는 네 개의 1차 상태가 된다.

유한요소해석도 기본 모양은 같다. 구조물을 작은 요소로 나누면 수천·수백만 자유도의 행렬 방정식이 생긴다. 이를 모드 좌표로 바꾸면 복잡한 구조 진동을 여러 개의 단순한 1자유도 진동 모드가 겹친 것으로 근사할 수 있다. 자동차의 바운스·피치, 차체 굽힘, 엔진 마운트 진동이 서로 다른 고유진동수를 갖는 이유가 여기에 있다.

PID와 베르누이는 어디까지 같은 이야기일까

참고 자료에 함께 등장한다고 모두 2차 미분방정식인 것은 아니다.

PID는 그 자체로 ‘2차 시스템’이 아니다

PID 제어기는 오차 e(t)로부터 제어입력 u(t)를 만드는 규칙이다.

$$u(t)=K_pe(t)+K_i\int e(t)dt+K_d\frac{de}{dt}$$

미분과 적분이 들어가지만 이것만 보고 2차 시스템이라고 부르지 않는다. 제어 대상인 모터·온도계·기계계의 동특성과 PID를 연결한 전체 폐루프 전달함수의 분모 차수가 실제 시스템 차수를 정한다. 2차 플랜트에 PID를 붙이면 전체 차수가 더 높아질 수도 있고, 근사 과정에서 지배적인 두 극점만 남겨 2차처럼 볼 수도 있다.

베르누이 방정식도 그 자체로 2차 시간 미분방정식은 아니다

정상·비압축·비점성 유동에서 쓰는 베르누이 식

$$P+\frac12\rho v^2+\rho gh=\mathrm{constant}$$

은 한 유선을 따라 압력·속도·높이의 에너지를 비교하는 대수 관계다. 시간에 대한 x''가 들어간 2차 ODE가 아니다. 유체의 실제 시간·공간 변화를 다루는 나비에-스토크스 방정식은 편미분방정식이며, 여기서 다룬 한 자유도 선형 ODE보다 훨씬 넓은 문제다.

에너지라는 공통 언어로 연결할 수는 있지만, 에너지가 등장한다고 모두 같은 종류의 방정식은 아니다.

라플라스와 전달함수로 다시 한 줄에 정리하기

초기조건을 0으로 놓고

$$mx''+cx'+kx=F(t)$$

를 라플라스 변환하면

$$(ms^2+cs+k)X(s)=F(s)$$

이므로 힘 입력에서 변위 출력까지의 전달함수는

$$\boxed{G(s)=\frac{X(s)}{F(s)}=\frac{1}{ms^2+cs+k}}$$

이다. 수치 예제에서는

$$G(s)=\frac{1}{s^2+2s+25}$$

이고 극점 -1±j4.899가 자유응답의 e^{-t}와 sin, cos를 동시에 결정한다.

첫 라플라스 글에서 본 “미분방정식이 대수방정식으로 바뀐다”는 말은 여기서 끝이 아니다. 분모의 계수에서 ω_n과 ζ를 읽고, 복소평면의 극점에서 감쇠와 진동을 읽고, 주파수응답에서 공진과 절연을 읽는 데까지 이어진다.

마지막으로 이것만 기억하자

1. 2차는 가장 높은 미분이 x''라는 뜻이다.
2. 2차 운동을 하나로 정하려면 보통 초기 위치 x(0)와 초기 속도 x'(0)가 필요하다.
3. 질량-스프링-댐퍼는 힘을 한 방향으로 더하면 mx''+cx'+kx=F가 된다.
4. ω_n=√(k/m)은 움직임의 고유 속도, ζ=c/(2√km)는 감쇠의 정도를 정한다.
5. ζ<1은 진동하며 감쇠하고, ζ=1은 넘지 않고 가장 빠르며, ζ>1은 진동하지 않지만 느릴 수 있다.
6. RLC의 Lq''+Rq'+q/C=V는 m↔L, c↔R, k↔1/C, x↔q로 같은 구조다.
7. 직접 외력을 가하는 공진 확대율과 바닥이 움직이는 진동 전달률은 서로 다른 식이다.

결국 2차 미분방정식은 공식을 하나 더 외우는 장이 아니다. 관성으로 계속 가려는 것, 원위치로 돌아오려는 것, 에너지를 잃는 것이 한 시스템 안에서 경쟁할 때 나타나는 공통 문법이다. 이 문법을 한 번 제대로 읽고 나면 스프링, RLC, 서스펜션, 구조 진동이 더 이상 서로 다른 과목처럼 보이지 않는다.