Peak·RMS·파고율·파형율을 파형 하나로 구분하기

파형의 크기를 숫자 하나로 표현할 때 peak, RMS, 평균값은 서로 다른 질문에 답한다. 이 값을 섞으면 “표시는 10 A인데 입력 회로는 왜 포화됐는가”, “정현파용 계측기가 왜 펄스에서 틀리는가” 같은 문제가 생긴다.

세 가지 크기부터 같은 주기에서 계산한다

주기가 T인 파형 x(t)의 절대 peak는 다음과 같다.

$$X_{peak}=\max_{0\le t<T}|x(t)|$$

RMS는 제곱하고 평균낸 뒤 제곱근을 취한다.

$$X_{rms}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T x^2(t)\,dt}$$

평균 정류값은 절댓값의 평균이다.

$$X_{avg,rect}=\frac{1}{T}\int_0^T |x(t)|\,dt$$

교류 파형의 단순 평균과 평균 정류값은 다르다. 대칭 정현파의 한 주기 평균은 0이지만 평균 정류값은 0이 아니다.

저항 R에 전압 v(t)를 인가하면 순간 전력은 v²(t)/R이고 평균 전력은 다음과 같다.

$$P_{avg}=\frac{V_{rms}^2}{R}$$

이 관계가 RMS를 “실효값”이라고 부르는 이유다. RMS는 peak를 추정하기 위한 값이 아니라 파형 전체의 제곱 평균으로 독립적으로 계산되는 값이다.

파고율은 입력 회로가 견뎌야 할 여유를 보여준다

파고율은 peak와 RMS의 비다.

$$CF=\frac{X_{peak}}{X_{rms}}$$

RMS가 같아도 파고율이 큰 파형은 순간 peak가 더 높다. 예를 들어 10 V RMS 정현파의 peak는 약 14.14 V지만, 파고율이 4인 펄스성 신호의 peak는 40 V다. 두 신호의 RMS 표시가 같아도 ADC와 증폭기에는 전혀 다른 입력 범위가 필요하다.

True-RMS 계측기 데이터시트에 “crest factor 3 이하” 같은 조건이 붙는 이유도 여기에 있다. 측정값이 표시 범위 안에 있더라도 peak가 아날로그 입력부를 포화시키면 RMS 계산은 이미 잘린 파형을 대상으로 하게 된다.

파형율은 평균응답형 계측기의 오차를 설명한다

파형율은 RMS와 평균 정류값의 비다.

$$FF=\frac{X_{rms}}{X_{avg,rect}}$$

평균응답형 AC 계측기는 평균 정류값을 측정한 뒤 정현파의 파형율인 약 1.1107을 곱해 RMS 눈금으로 표시할 수 있다. 입력이 정현파라면 맞지만, 파형이 찌그러지면 실제 파형율이 달라져 표시 오차가 생긴다.

True-RMS라는 표시는 RMS 연산 방식을 뜻할 뿐, 모든 주파수와 파고율에서 정확하다는 뜻은 아니다. 대역폭, 입력 범위, crest factor derating과 AC coupling 조건을 따로 확인해야 한다.

정현파·구형파·삼각파의 값은 이렇게 다르다

대칭이고 절대 peak가 A인 이상적인 파형을 비교하면 다음과 같다.

삼각파는 정현파보다 peak 부근에 머무는 시간이 짧기 때문에 같은 peak에서 RMS가 더 작고 파고율은 더 크다. 구형파는 항상 절대값 A에 있으므로 peak, RMS, 평균 정류값이 모두 같다.

듀티가 짧은 펄스는 파고율이 빠르게 커진다

한 주기 중 비율 D 동안만 A, 나머지는 0인 단극성 펄스를 두자. 0<D≤1일 때 다음이 성립한다.

$$X_{rms}=A\sqrt{D},\qquad X_{avg,rect}=AD$$

따라서 파고율과 파형율은 모두 다음과 같다.

$$CF=FF=\frac{1}{\sqrt{D}}$$

듀티가 10%라면 CF≈3.162다. 3 A RMS로 측정되는 10% 펄스의 peak는 약 9.49 A다. 듀티가 1%라면 같은 관계에서 파고율은 10이 된다.

이 예제에서 평균 정류값은 DC 평균과 같지만, AC coupling으로 DC 성분을 제거한 뒤의 RMS는 다르다. 단극성 펄스의 전체 RMS와 AC 성분 RMS는 각각 다음과 같다.

$$X_{rms,total}=A\sqrt{D}$$ $$X_{rms,AC}=A\sqrt{D(1-D)}$$

계측기의 “AC”, “AC+DC” 모드가 같은 파형에서 다른 숫자를 보여줄 수 있는 이유다.

파고율만으로 파형을 식별할 수는 없다

파고율은 파형의 peak와 RMS를 두 숫자로 압축한다. 서로 전혀 다른 파형도 같은 파고율을 가질 수 있고, 드물게 발생한 단일 spike가 peak를 지배할 수도 있다. 반복 펄스의 성격을 확인하려면 시간 파형, histogram, FFT와 함께 봐야 한다.

측정할 때는 다음 순서가 유용하다.

1. 시간 파형에서 클리핑과 비정상 spike를 확인한다.
2. 계측기의 AC 또는 AC+DC 모드와 RMS 대역폭을 확인한다.
3. 표시된 RMS에 예상 파고율을 곱해 필요한 peak 입력 범위를 계산한다.
4. 계측기 사양의 crest factor 조건과 derating을 비교한다.
5. 평균응답형 장비라면 입력 파형이 정현파라는 가정이 성립하는지 확인한다.

RMS는 열적 효과, peak는 순간 한계, 파고율은 두 값 사이의 여유를 말한다. 세 값을 따로 읽어야 파형과 계측기 중 어디에서 한계가 생겼는지 구분할 수 있다.